CPMM 数学

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不变量

CPMM 在其两个金库上维护经典的恒定乘积不变量：

x \cdot y = k

其中 x 是 vault0 的余额在收到任何 Token-2022 转账费后，y 亦然。每次交换必须在计入分配给 LP 的交易费后保持 k' ≥ k（协议、基金和创建者桶不计入 k — 它们位于金库中但从曲线视图中排除，见下文曲线上的费用）。因此 k 随着时间单调增长，因为 LP 累积费用。 LP 份额由池的储备而非 k 定价：

\text{LP 在 token0 中的价格} = \frac{x}{\text{lpSupply}}, \qquad \text{LP 在 token1 中的价格} = \frac{y}{\text{lpSupply}}

销毁 ΔLP 个 LP 代币会返回恰好 ΔLP × x / lpSupply 的 token0 和 ΔLP × y / lpSupply 的 token1。存款或提款时曲线和 k 都不会移动 — 只有交换改变价格。

交换路径上的费用模型

CPMM 在每次交换上应用两个独立费率的费用：

交易费在输入端收取，费率为 AmmConfig.trade_fee_rate。然后分为 LP、协议和基金份额（LP 份额留在金库中并增长 k；协议和基金份额从金库会计中提取）。
创建者费（仅当 enable_creator_fee == true 时激活）按 AmmConfig.creator_fee_rate 收取。它在输入端或输出端收取，取决于 PoolState.creator_fee_on 和交换方向（见products/cpmm/fees）。它是自己的桶 — 永远不是交易费的一部分。

创建者费的协议份额不会出现在本页的任何地方，这是有意的。 它在 CollectCreatorFee 在曲线已排除的两个计数器之间移动累积费用时应用 — 不是在交换期间。交换数学、报价和 k 无论有无它都相同。见products/cpmm/fees。

设：

FEE_RATE_DENOMINATOR = 1_000_000
trade_fee_rate — 来自 AmmConfig，例如 2500 = 相关交易量端的 0.25%
creator_fee_rate — 来自 AmmConfig，例如 1000 = 相关交易量端的 0.10%
protocol_fee_rate、fund_fee_rate — 以 1/FEE_RATE_DENOMINATOR 的交易费单位计，不是交易量

当创建者费在输入端时：

total_input_fee = ceil(amount_in * (trade_fee_rate + creator_fee_rate) / FEE_RATE_DENOMINATOR)
creator_fee     = floor(total_input_fee * creator_fee_rate / (trade_fee_rate + creator_fee_rate))
trade_fee       = total_input_fee - creator_fee
amount_in_after_fees = amount_in - total_input_fee

当创建者费在输出端时：

trade_fee            = ceil(amount_in * trade_fee_rate / FEE_RATE_DENOMINATOR)
amount_in_after_fees = amount_in - trade_fee
amount_out_curve     = curve_output(amount_in_after_fees, ...)
creator_fee          = ceil(amount_out_curve * creator_fee_rate / FEE_RATE_DENOMINATOR)
amount_out           = amount_out_curve - creator_fee

在两种情况下交易费的分割方式相同：

protocol_fee   = floor(trade_fee * protocol_fee_rate / FEE_RATE_DENOMINATOR)
fund_fee       = floor(trade_fee * fund_fee_rate     / FEE_RATE_DENOMINATOR)
lp_fee         = trade_fee - protocol_fee - fund_fee     // creator_fee 在这里不被减去

protocol_fee + fund_fee + creator_fee 的金额保存在金库中但在池状态上单独跟踪（protocol_fees_token*、fund_fees_token*、creator_fees_token*）。当恒定乘积不变量检查 k' ≥ k 时，它使用金库余额减去所有三个累积但未清扫的费用 — 所以 LP 只获得 lp_fee。见products/cpmm/fees了解收集指令和详细的数值示例。

SwapBaseInput（输入精确）

“用户给我们恰好 amount_in 的输入代币，并接收至少 minimum_amount_out 的输出代币。” 暂时忽略 Token-2022：

amount_in_after_trade_fee = amount_in - trade_fee
amount_out                = y − (x * y) / (x + amount_in_after_trade_fee)

通过代数：

\text{amount\_out} = \frac{y \cdot \Delta x_{\text{net}}}{x + \Delta x_{\text{net}}}

其中 Δx_net = amount_in_after_trade_fee。程序然后更新金库会计，使得 trade_fee 中欠协议/基金/创建者的部分位于”累积”桶中（不包括在曲线的下一个 x 中），而 LP 份额加入 x 用于下一次交换。

输入端的 Token-2022

如果输入代币有转账费扩展，代币在从用户 → 金库的转账时扣除其费用。所以金库实际接收 amount_in − transfer_fee_in(amount_in)。CPMM 程序因此计算：

amount_actually_received = amount_in − transfer_fee_in(amount_in)
trade_fee                = ceil(amount_actually_received * trade_fee_rate / FEE_RATE_DENOMINATOR)
amount_in_after_trade_fee = amount_actually_received − trade_fee

并针对 amount_in_after_trade_fee 运行曲线。这很重要，因为曲线价格是根据实际进入金库的净金额计算的，而不是根据用户的标题金额。

输出端的 Token-2022

如果输出代币有转账费，池从其金库向用户发送 amount_out。代币然后会在途中扣除其费用，所以用户接收 amount_out − transfer_fee_out(amount_out)。程序照常从曲线计算 amount_out，但集成商有责任在显示报价时将池的”金库发送”数字转换为”用户接收”数字。

滑点检查

计算 amount_out 后：

require(amount_out >= minimum_amount_out, "AmountSpecifiedLessThanMinimum")

如果输出代币收取转账费，SDK 在设置 minimum_amount_out 之前应用转账费，所以滑点常数以用户实际接收的金额计，而不是金库发送的金额。

SwapBaseOutput（输出精确）

“用户将接收恰好 amount_out 的输出代币，并愿意支付最多 maximum_amount_in 的输入代币。” 反演曲线求 Δx_net：

\Delta x_{\text{net}} = \left\lceil \frac{x \cdot \text{amount\_out}}{y - \text{amount\_out}} \right\rceil

向上取整很重要 — 它保证整数截断后 k' ≥ k。然后：

// 从净输入反推到总输入。
// 费用应用于总输入，所以：
//   net = gross − ceil(gross * rate / D)
//       ≈ gross * (D − rate) / D
// 在正确的地方用向上取整反演：
gross_needed = ceil(Δx_net * D / (D − trade_fee_rate))

在 Token-2022 输入上，包装为：

gross_needed_before_mint_fee
  = inflate_for_transfer_fee(gross_needed, input_mint)

所以用户支付足够的金额，使得在代币的转账费扣除后池仍然接收 gross_needed。

滑点检查

require(gross_needed_before_mint_fee <= maximum_amount_in, "AmountSpecifiedExceedsMaximum")

详细示例

池状态，忽略 Token-2022：

x = 1_000_000_000_000（1,000,000.000000 的 token0，6 位小数）
y = 2_000_000_000_000（2,000,000.000000 的 token1，6 位小数）
AmmConfig：trade_fee_rate = 2500、protocol_fee_rate = 120_000、fund_fee_rate = 40_000、creator_fee_rate = 0

用户：SwapBaseInput，amount_in = 1_000_000_000（1,000.000000 的 token0）。创建者费被禁用（enable_creator_fee = false）。

trade_fee                = ceil(1_000_000_000 * 2500 / 1_000_000)       = 2_500_000
  protocol_fee           = floor(2_500_000 * 120_000 / 1_000_000)       = 300_000
  fund_fee               = floor(2_500_000 *  40_000 / 1_000_000)       = 100_000
  lp_fee                 = 2_500_000 − 300_000 − 100_000                 = 2_100_000
creator_fee              = 0                                              // 禁用

amount_in_after_trade_fee = 1_000_000_000 − 2_500_000                    = 997_500_000

amount_out = y − (x * y) / (x + Δx_net)
           = 2_000_000_000_000
             − (1_000_000_000_000 * 2_000_000_000_000)
               / (1_000_000_000_000 + 997_500_000)
           = 1_993_011_971

new_vault0_raw   = x + amount_in                                        = 1_001_000_000_000
new_vault1       = y − amount_out                                       = 1_998_006_988_029

// 在 vault0 中接收的 1_000_000_000 中，400_000 是"累积费用"
// （协议 + 基金），曲线应该排除：
curve_x          = new_vault0_raw − (protocol_fees_token0 + fund_fees_token0)
                 = 1_001_000_000_000 − 400_000
                 = 1_000_999_600_000

k' = curve_x * new_vault1 ≈ 2.000_004_196_E24  ≥  k = 2.0E24   ✓

如果同一个池有 enable_creator_fee = true，creator_fee_rate = 1000（0.10%）在输入端，程序会收取 total_input_fee = ceil(1_000_000_000 * 3500 / 1_000_000) = 3_500_000，然后分为 creator_fee = 1_000_000 和 trade_fee = 2_500_000。trade_fee 上的协议/基金/LP 算术与上面的示例相同 — 创建者费是自己的桶，累积到 creator_fees_token0 并与协议和基金桶一起从 curve_x 中排除。如果输入代币有 1% 的 Token-2022 转账费，金库接收 990_000_000 个代币而不是 1_000_000_000，所有后续计算都使用该净金额。

观察更新规则

在每次交换时，程序评估是否应将新观察推入环形缓冲区：

let since_last = now − observations[head].block_timestamp;
if since_last >= MIN_OBSERVATION_INTERVAL {
    let price0 = (vault1 << 32) / vault0;            // Q32.32-ish
    let price1 = (vault0 << 32) / vault1;
    let head' = (head + 1) % OBSERVATION_NUM;
    observations[head'] = Observation {
        block_timestamp: now,
        cumulative_token0_price_x32:
            observations[head].cumulative_token0_price_x32 + price0 * since_last,
        cumulative_token1_price_x32:
            observations[head].cumulative_token1_price_x32 + price1 * since_last,
    };
    head = head';
}

两个特性：

累积价格，不是现货价格。 单个观察不是价格。要从时间 t0 到 t1 获得 TWAP，读取最接近每一端的观察并计算 (cumulative(t1) − cumulative(t0)) / (t1 − t0)。
样本受速率限制。 同一槽中的连续交换可能共享一个观察。在交换后立即读取观察因此可能看起来过时一个槽 — 这是正常的。

更多信息见products/clmm/accounts。

曲线上的费用

这是微妙的部分，值得特别说明。曲线算术针对净金库余额工作 — 即原始 SPL 余额减去累积的协议、基金和创建者费（所有三个都是独立的桶 — 见products/cpmm/fees）。一个具体的图景：

raw_vault_balance   = RPC getTokenAccountBalance 返回的内容
accrued_fees        = protocol_fees_token{0,1} + fund_fees_token{0,1} + creator_fees_token{0,1}
curve_balance       = raw_vault_balance − accrued_fees
invariant           = curve_balance0 * curve_balance1

对集成商的后果：

不要从原始余额报价。 先减去累积费用字段，或调用 SwapBaseInput 作为模拟并取其返回值。
CollectProtocolFee 将代币移出金库。 收集后，raw_vault_balance 下降但 curve_balance 不变；池的价格不会移动。这是有意的。

精度和溢出

所有曲线算术使用 u128 中间值以防止 x * y 上的溢出。
除法向零舍入，除了 SwapBaseOutput 的 Δx_net 向上舍入，以及费用计算向上舍入 trade_fee 并向下舍入子分割。这些舍入方向被选择以确保不变量由于整数截断而永远不会减少。
具有极端金库比率（数十亿：1）的池可能在小交易上遇到精度下限；程序在这种情况下返回 ZeroTradingTokens。见reference/error-codes。

接下来去哪里

products/cpmm/fees — 完整的费用等级和收集语义。
products/cpmm/instructions — 调用此数学的指令。
algorithms/constant-product — x · y = k 的推导和边界情况，在 AMM v4 和 CPMM 中共享。

来源：

raydium-io/raydium-cp-swap — states/curve.rs 中的交换数学
Raydium 审计报告链接在security/audits

产品

算法

不变量

交换路径上的费用模型

SwapBaseInput（输入精确）

输入端的 Token-2022

输出端的 Token-2022

滑点检查

SwapBaseOutput（输出精确）

滑点检查

详细示例

观察更新规则

曲线上的费用

精度和溢出

接下来去哪里

​不变量

​交换路径上的费用模型

​SwapBaseInput（输入精确）

​输入端的 Token-2022

​输出端的 Token-2022

​滑点检查

​SwapBaseOutput（输出精确）

​滑点检查

​详细示例

​观察更新规则

​曲线上的费用

​精度和溢出

​接下来去哪里

不变量

交换路径上的费用模型

SwapBaseInput（输入精确）

输入端的 Token-2022

输出端的 Token-2022

滑点检查

SwapBaseOutput（输出精确）

滑点检查

详细示例

观察更新规则

曲线上的费用

精度和溢出

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