结合曲线

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本页推导通用结合曲线数学。LaunchLab 的具体实现详见 products/launchlab/bonding-curve。推导采用连续形式；链上代码用定点算术实现离散类似物。

什么是结合曲线

结合曲线是一个确定性价格函数 p(s)，将代币价格与当前流通量（s 代表”已售供应量”）关联起来。买方通过向合约发送抵押品来购买；合约以曲线指定的边际价格发行新代币单位。卖方返还代币单位并获得累积退款。与 CPMM 池相比的两个关键属性：

无需对手方。发行合约本身是做市商；流动性由规则直接产生。
单调价格。每次净买入时价格上升，每次净卖出时价格下降。

当发行方不想用抵押品预先为 AMM 池注入流动性时，结合曲线是标准的启动机制。

通用定价公式

对于任何连续价格函数 p(s)： 即期价格（供应量为 s）：

p(s) = the curve formula

从 s_0 买到 s_1 的成本（s_1 > s_0）：

cost(s_0, s_1) = ∫_{s_0}^{s_1} p(s) ds = P(s_1) − P(s_0)

其中 P(s) = ∫ p(s) ds 是曲线的原函数。几何上，cost 是 p 在 s_0 和 s_1 之间的曲线下面积。 从 s_1 卖回到 s_0 的收益：

proceeds(s_1, s_0) = cost(s_0, s_1)

（对称性：在相同区间上的买卖交换相同的抵押品 — 扣除费用。） 该买入的平均价格：

avg = cost(s_0, s_1) / (s_1 − s_0)

常见曲线族

线性

p(s) = a + b · s

P(s)            = a·s + (b/2)·s²
cost(s_0, s_1)  = a·(s_1 − s_0) + (b/2)·(s_1² − s_0²)

价格与供应量成比例上升。用于”稳定”启动，其中发行方希望在整个生命周期内有可预测的适度加成。

二次

p(s) = k · s²                      // 或  k · (s / S_max)² 用于规范化形式

// Antiderivative of the normalized form p(s) = k · (s / S_max)²
P(s)            = (k / (3 · S_max²)) · s³
cost(s_0, s_1)  = (k / (3 · S_max²)) · (s_1³ − s_0³)

（对于未归一化的 p(s) = k · s²，去掉 S_max²：P(s) = (k/3) · s³。选定一种约定并始终保持一致 — 下面的示例计算全程使用归一化形式。）价格二次上升。早期买家获得接近零的价格（平坦启动区域）；后期买家支付更高的溢价。

LaunchLab 并未实现二次价格曲线。 它的三种曲线类型是 0 = ConstantProduct（默认）、1 = FixedPrice 和 2 = LinearPrice。与本节形状最接近的是 LinearPrice，其价格为 p(s) = a·s，因此其成本是二次的。本节作为多项式曲线的一般性论述保留。

虚拟储备 CPMM（Pump 风格）

该曲线是标准 CPMM，带有假想的初始报价储备 V_q：

effective_y = V_q + collateral_received
effective_x = S_max − s
(effective_x) · (effective_y) = V_q · S_max      // 不变量

即期价格：

p(s) = effective_y / effective_x
     = V_q · S_max / (S_max − s)² · ... (可通过隐函数求导推导)

从 s_0 移动到 s_1 的成本：

cost(s_0, s_1) = V_q · S_max / (S_max − s_1) − V_q · S_max / (S_max − s_0)
              = V_q · (s_1 − s_0) · S_max / ((S_max − s_0) · (S_max − s_1))

该变体有一个优雅的性质：在毕业时（s = S_graduate），边际价格等于用储备 (S_max − S_graduate, V_q + cost(0, S_graduate)) 注入的下游 CPMM 池的开盘价格。交接无缝。LaunchLab 将其公开为 curve_type = 0（ConstantProduct）— 默认类型，也是目前唯一有实际配置的类型。

离散实现

链上，s 和 cost 都是整数（最小面额单位）。每当存在闭式形式时（线性、二次），连续积分 cost(s_0, s_1) 直接从闭式计算。对于没有闭式逆函数的曲线（二次，给定 cost 求 s_1），使用牛顿迭代：

# 求解二次: (k/3)·s_1³ = (k/3)·s_0³ + cost
# 初始化 s_guess ≈ cbrt(3·cost/k + s_0³)
for i in 0..MAX_ITER:
    f    = (k/3)·s_guess³ − (k/3)·s_0³ − cost
    f'   = k·s_guess²
    step = f / f'
    s_guess -= step
    if |step| < precision_floor: break

这是通用的数值求解方法，不是 LaunchLab 的实现。LaunchLab 没有牛顿求解器，也没有 NotConverged 错误 — 它的三种曲线都不需要。恒定乘积曲线有闭式反解，固定价格曲线只是一次除法，而线性价格曲线的二次成本可用平方根反解。即使上面的二次价格情形也有精确的闭式解 s₁ = ∛(s₀³ + 3·cost/k)，这正是代码片段用作初始值的公式。

费用集成

费用应用于曲线成本之上，而不是其中。买入时：

cost_curve  = cost(base_sold, base_sold + base_out)
fee         = ceil(cost_curve · buy_numerator / buy_denominator)
quote_in    = cost_curve + fee

卖出时：

proceeds_curve = cost(base_sold − base_in, base_sold)
fee            = ceil(proceeds_curve · sell_numerator / sell_denominator)
quote_out      = proceeds_curve − fee

费用的 LP 部分保留在 quote_vault 中，对后续买家来说有效地使曲线变陡 — 储备增长而不发行更多供应。协议和创建者部分在单独的计数器中跟踪，以供后续清扫。

毕业阈值

当曲线收到足够的抵押品以在匹配当前曲线价格的价格为外部 AMM 池提供资金时，曲线”毕业”。对于参数为 (k, S_max, S_graduate) 的二次曲线：

quote_to_graduate = cost(0, S_graduate) · (1 + buy_fee_rate)
                  = (k / 3) · S_graduate³ · (1 + f_buy)

一旦 quote_vault ≥ quote_to_graduate，Graduate 指令创建一个 CPMM 池，包含：

cpmm_base_reserve  = S_max − S_graduate        // 未售曲线供应
cpmm_quote_reserve = quote_vault − accrued_fee_counters
cpmm_initial_price = cpmm_quote_reserve / cpmm_base_reserve

对于虚拟储备曲线，根据构造：

cpmm_initial_price == p(S_graduate)           // 精确相等

对于二次曲线，该等式不成立：积分平均价格严格高于边际价格，因此 CPMM 的开盘价格比 p(S_graduate) 高出一个固定倍数（见下面的示例计算）。只有恒定乘积／虚拟储备曲线 — 即 LaunchLab 实际运行的那一种 — 在交接时是价格连续的。

与 CPMM 池的无常损失对比

纯结合曲线启动在 Uniswap 意义上没有无常损失：市场上没有”另一方”来重新平衡。曲线按需发行供应，唯一的”LP”是合约本身。毕业后，产生的 CPMM 池表现得像任何其他 CPMM 池 — 如果 LP 未被销毁，它们会承受常见的无常损失动力学。这就是为什么销毁 post-graduation 政策在公开启动中占主导：它保持池永久化并消除任何 LP 取款驱动的价格冲击。

详细示例

曲线：二次，k = 40，S_max = 1e9，S_graduate = 0.8 · S_max = 8e8。买入费 1%。

`s = 5e8` 时的价格

p(5e8) = 40 · (5e8 / 1e9)² = 40 · 0.25 = 10

每基础单位 10 个报价单位。

首次买入 1e6 基础的成本

cost(0, 1e6) = (40 / (3 · (1e9)²)) · (1e6)³
             = (40 / 3e18) · 1e18
             ≈ 13.3          (最小报价单位)

带 1% 费用：

quote_in = 13.3 · 1.01 ≈ 13.5

毕业阈值

cost(0, 8e8) = (40 / 3e18) · (8e8)³
             = (40 / 3e18) · 5.12e26
             ≈ 6.827e9      (≈ 6,827 units of a 6-decimal quote mint)
quote_to_graduate ≈ 6.827e9 · 1.01 ≈ 6.895e9

毕业时的价格

p(8e8) = 40 · 0.64 = 25.6

毕业后的 CPMM 储备

cpmm_base  = 1e9 − 8e8 = 2e8
cpmm_quote ≈ 6.827e9   (扣除费用计数器扣除后)
cpmm_price ≈ 6.827e9 / 2e8 = 34.14 per base

这不是 p(8e8) = 25.6 — 而正好是它的 4/3 倍。对于任何二次价格曲线，积分平均值为 p(s)/3 · s / s，因此当剩余供应量为 1 − 0.8 时， cost(0,s)/s = p(s)/3 · ... 得出 4/3 · p(s)。所以二次曲线的交接不是价格连续的。只有恒定乘积／虚拟储备曲线才具有上文所述的精确相等性质；二次曲线的发射在毕业时会出现一个跳变。

产品

算法

什么是结合曲线

通用定价公式

常见曲线族

线性

二次

虚拟储备 CPMM（Pump 风格）

离散实现

费用集成

毕业阈值

与 CPMM 池的无常损失对比

详细示例

`s = 5e8` 时的价格

首次买入 1e6 基础的成本

毕业阈值

毕业时的价格

毕业后的 CPMM 储备

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​虚拟储备 CPMM（Pump 风格）

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​与 CPMM 池的无常损失对比

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​s = 5e8 时的价格

​首次买入 1e6 基础的成本

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二次

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`s = 5e8` 时的价格

首次买入 1e6 基础的成本

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