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本页推导通用结合曲线数学。LaunchLab 的具体实现详见 products/launchlab/bonding-curve。推导采用连续形式；链上代码用定点算术实现离散类似物。
什么是结合曲线
结合曲线是一个确定性价格函数 p(s)，将代币价格与当前流通量（s 代表”已售供应量”）关联起来。买方通过向合约发送抵押品来购买；合约以曲线指定的边际价格发行新代币单位。卖方返还代币单位并获得累积退款。
与 CPMM 池相比的两个关键属性：
- 无需对手方。发行合约本身是做市商；流动性由规则直接产生。
- 单调价格。每次净买入时价格上升，每次净卖出时价格下降。
当发行方不想用抵押品预先为 AMM 池注入流动性时，结合曲线是标准的启动机制。
通用定价公式
对于任何连续价格函数 p(s)：
即期价格（供应量为 s）：
从 s_0 买到 s_1 的成本（s_1 > s_0）：
cost(s_0, s_1) = ∫_{s_0}^{s_1} p(s) ds = P(s_1) − P(s_0)
P(s) = ∫ p(s) ds 是曲线的原函数。几何上，cost 是 p 在 s_0 和 s_1 之间的曲线下面积。
从 s_1 卖回到 s_0 的收益：
proceeds(s_1, s_0) = cost(s_0, s_1)
avg = cost(s_0, s_1) / (s_1 − s_0)
常见曲线族
P(s) = a·s + (b/2)·s²
cost(s_0, s_1) = a·(s_1 − s_0) + (b/2)·(s_1² − s_0²)
p(s) = k · s² // 或 k · (s / S_max)² 用于规范化形式
P(s) = (k / 3) · s³
cost(s_0, s_1) = (k / 3) · (s_1³ − s_0³)
curve_type = 0）。
虚拟储备 CPMM（Pump 风格）
该曲线是标准 CPMM，带有假想的初始报价储备 V_q：
effective_y = V_q + collateral_received
effective_x = S_max − s
(effective_x) · (effective_y) = V_q · S_max // 不变量
p(s) = effective_y / effective_x
= V_q · S_max / (S_max − s)² · ... (可通过隐函数求导推导)
s_0 移动到 s_1 的成本：
cost(s_0, s_1) = V_q · S_max / (S_max − s_1) − V_q · S_max / (S_max − s_0)
= V_q · (s_1 − s_0) · S_max / ((S_max − s_0) · (S_max − s_1))
s = S_graduate），边际价格等于用储备 (S_max − S_graduate, V_q + cost(0, S_graduate)) 注入的下游 CPMM 池的开盘价格。交接无缝。LaunchLab 将其公开为 curve_type = 1。
离散实现
链上，s 和 cost 都是整数（最小面额单位）。每当存在闭式形式时（线性、二次），连续积分 cost(s_0, s_1) 直接从闭式计算。对于没有闭式逆函数的曲线（二次，给定 cost 求 s_1），使用牛顿迭代：
# 求解二次: (k/3)·s_1³ = (k/3)·s_0³ + cost
# 初始化 s_guess ≈ cbrt(3·cost/k + s_0³)
for i in 0..MAX_ITER:
f = (k/3)·s_guess³ − (k/3)·s_0³ − cost
f' = k·s_guess²
step = f / f'
s_guess -= step
if |step| < precision_floor: break
NotConverged 回滚。实际上这仅在域极端触发；生产交换通常在 2-3 次迭代内收敛。
费用集成
费用应用于曲线成本之上，而不是其中。买入时：
cost_curve = cost(base_sold, base_sold + base_out)
fee = ceil(cost_curve · buy_numerator / buy_denominator)
quote_in = cost_curve + fee
proceeds_curve = cost(base_sold − base_in, base_sold)
fee = ceil(proceeds_curve · sell_numerator / sell_denominator)
quote_out = proceeds_curve − fee
quote_vault 中，对后续买家来说有效地使曲线变陡 — 储备增长而不发行更多供应。协议和创建者部分在单独的计数器中跟踪，以供后续清扫。
毕业阈值
当曲线收到足够的抵押品以在匹配当前曲线价格的价格为外部 AMM 池提供资金时，曲线”毕业”。对于参数为 (k, S_max, S_graduate) 的二次曲线：
quote_to_graduate = cost(0, S_graduate) · (1 + buy_fee_rate)
= (k / 3) · S_graduate³ · (1 + f_buy)
quote_vault ≥ quote_to_graduate，Graduate 指令创建一个 CPMM 池，包含：
cpmm_base_reserve = S_max − S_graduate // 未售曲线供应
cpmm_quote_reserve = quote_vault − accrued_fee_counters
cpmm_initial_price = cpmm_quote_reserve / cpmm_base_reserve
cpmm_initial_price == p(S_graduate) // 精确相等
S_graduate 的舍入中（通常为 0.8 · S_max）和达到阈值买入的剩余抵押品中。
与 CPMM 池的无常损失对比
纯结合曲线启动在 Uniswap 意义上没有无常损失：市场上没有”另一方”来重新平衡。曲线按需发行供应，唯一的”LP”是合约本身。
毕业后，产生的 CPMM 池表现得像任何其他 CPMM 池 — 如果 LP 未被销毁，它们会承受常见的无常损失动力学。这就是为什么销毁 post-graduation 政策在公开启动中占主导：它保持池永久化并消除任何 LP 取款驱动的价格冲击。
详细示例
曲线：二次，k = 40，S_max = 1e9，S_graduate = 0.8 · S_max = 8e8。买入费 1%。
s = 5e8 时的价格
p(5e8) = 40 · (5e8 / 1e9)² = 40 · 0.25 = 10
首次买入 1e6 基础的成本
cost(0, 1e6) = (40/3) · (1e6)³
= (40/3) · 1e18
≈ 1.333e19 (最小报价单位)
quote_in = 1.333e19 · 1.01 ≈ 1.347e19
毕业阈值
cost(0, 8e8) = (40/3) · (8e8)³
= (40/3) · 5.12e26
≈ 6.827e27
quote_to_graduate ≈ 6.827e27 · 1.01 ≈ 6.895e27
毕业时的价格
p(8e8) = 40 · 0.64 = 25.6
毕业后的 CPMM 储备
cpmm_base = 1e9 − 8e8 = 2e8
cpmm_quote ≈ 6.827e27 (扣除费用计数器扣除)
cpmm_price ≈ 3.41e19 per base — 考虑单位后与 p(8e8) 匹配
相关链接
来源：
- Raydium LaunchLab 程序源代码（二次和虚拟储备曲线实现）。
- Bancor 白皮书（线性结合曲线，历史文献）。
- Pump.fun 公开事后分析（虚拟储备变体）。
