ボンディングカーブ

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ボンディングカーブとは

ボンディングカーブ は、トークン価格を現在流通しているサプライ量（s は「売却済みサプライ」を意味する）に関連付ける決定論的な価格関数 p(s) です。買い手はコントラクトに担保を送ることで購入します。コントラクトは曲線によって定められた限界価格で新しいトークン単位を発行します。売り手はトークン単位を返し、統合された払い戻しを受け取ります。 CPMM プールと比較して 2 つの主要な特性があります：

カウンターパーティが不要。 発行するコントラクトは市場メーカーです。流動性は決定によって存在します。
単調な価格。 ネット買いで上昇し、ネット売りで下落します。

ボンディングカーブは、発行元が担保で事前に AMM プールをシードしたくない場合の標準的なローンチメカニズムです。

一般的な価格計算式

任意の連続価格関数 p(s) に対して： スポット価格 （サプライ s での）：

p(s) = the curve formula

購入コスト （サプライ s_0 から s_1 まで、s_1 > s_0 の場合）：

cost(s_0, s_1) = ∫_{s_0}^{s_1} p(s) ds = P(s_1) − P(s_0)

ここで P(s) = ∫ p(s) ds は曲線の原始関数です。幾何学的には、cost は s_0 と s_1 の間で p の下の領域です。 売却からのリターン （サプライを s_1 から s_0 に戻す）：

proceeds(s_1, s_0) = cost(s_0, s_1)

（対称性：同じ間隔での買いと売りは同じ担保を交換します — 手数料を除く。） 購入の平均価格：

avg = cost(s_0, s_1) / (s_1 − s_0)

一般的な曲線ファミリー

一次曲線

p(s) = a + b · s

P(s)            = a·s + (b/2)·s²
cost(s_0, s_1)  = a·(s_1 − s_0) + (b/2)·(s_1² − s_0²)

価格はサプライに比例して上昇します。発行者が予測可能で適度なマークアップを生涯にわたって望む「安定した」ローンチに使用されます。

二次曲線

p(s) = k · s²                      // or  k · (s / S_max)² for a normalized form

// Antiderivative of the normalized form p(s) = k · (s / S_max)²
P(s)            = (k / (3 · S_max²)) · s³
cost(s_0, s_1)  = (k / (3 · S_max²)) · (s_1³ − s_0³)

（正規化されていない p(s) = k · s² の場合は S_max² を外します：P(s) = (k/3) · s³。どちらか一方の表記を選び、それを一貫して使ってください — 以下の計算例では正規化された形式を通して使用します。）価格は二次的に上昇します。初期の買い手はほぼゼロの価格を取得します（平坦な開始領域）。後期の買い手はより急なプレミアムを支払います。

LaunchLab は二次の価格曲線を実装していません。 その 3 つの曲線タイプは 0 = ConstantProduct（デフォルト）、1 = FixedPrice、2 = LinearPrice です。このセクションに最も形状が近いのは LinearPrice で、その価格は p(s) = a·s、したがってコストが二次になります。このセクションは多項式曲線の一般的な扱いとして残されています。

仮想リザーブ CPMM（ポンプスタイル）

曲線は、見かけ上の初期クォートリザーブ V_q を備えた標準的な CPMM です：

effective_y = V_q + collateral_received
effective_x = S_max − s
(effective_x) · (effective_y) = V_q · S_max      // invariant

スポット価格：

p(s) = effective_y / effective_x
     = V_q · S_max / (S_max − s)² · ... (derivable via implicit differentiation)

s_0 から s_1 に移動するコスト：

cost(s_0, s_1) = V_q · S_max / (S_max − s_1) − V_q · S_max / (S_max − s_0)
              = V_q · (s_1 − s_0) · S_max / ((S_max − s_0) · (S_max − s_1))

このバリアントは、卒業時（s = S_graduate の場合）に、限界価格がリザーブ (S_max − S_graduate, V_q + cost(0, S_graduate)) でシードされた下流の CPMM プールのオープン価格に等しくなるという優雅な特性を持っています。ハンドオフはシームレスです。LaunchLab はこれを curve_type = 0（ConstantProduct）として公開しています — これはデフォルトであり、今日ライブな設定を持つ唯一のタイプです。

離散実装

オンチェーンでは、s と cost は両方とも整数（最小デノミネーション単位）です。連続積分 cost(s_0, s_1) は、1 つが存在するときは常に閉じた形式から直接計算されます（一次、二次）。閉じた形式の逆を持たない曲線（二次、cost が与えられた場合 s_1 を求める）では、ニュートン法が使用されます：

# Solve quadratic: (k/3)·s_1³ = (k/3)·s_0³ + cost
# Initialize with s_guess ≈ cbrt(3·cost/k + s_0³)
for i in 0..MAX_ITER:
    f    = (k/3)·s_guess³ − (k/3)·s_0³ − cost
    f'   = k·s_guess²
    step = f / f'
    s_guess -= step
    if |step| < precision_floor: break

これは一般的な数値解法のレシピであり、LaunchLab の実装ではありません。LaunchLab には ニュートン法のソルバーも NotConverged エラーも存在しません — 3 つの曲線のいずれもそれを必要としないためです。定積曲線は閉じた形で反転でき、固定価格曲線は単なる除算、線形価格曲線の二次のコストは平方根で反転します。上記の二次価格のケースでさえ、正確な閉形式 s₁ = ∛(s₀³ + 3·cost/k) を持ち、スニペットはこれを初期値として使用しています。

手数料統合

手数料は曲線コストの上に適用され、その内部ではありません。購入時：

cost_curve  = cost(base_sold, base_sold + base_out)
fee         = ceil(cost_curve · buy_numerator / buy_denominator)
quote_in    = cost_curve + fee

売却時：

proceeds_curve = cost(base_sold − base_in, base_sold)
fee            = ceil(proceeds_curve · sell_numerator / sell_denominator)
quote_out      = proceeds_curve − fee

手数料の LP 部分は quote_vault に保持され、後の買い手のために曲線をより硬くします — リザーブはサプライをさらに発行することなく成長します。プロトコルと作成者の部分は、後で掃引するための別々のカウンターで追跡されます。

卒業閾値

曲線は、現在の曲線価格に一致する価格で外部 AMM プールをシードするのに十分な担保を受け取ったときに「卒業」します。パラメーター (k, S_max, S_graduate) を持つ二次曲線の場合：

quote_to_graduate = cost(0, S_graduate) · (1 + buy_fee_rate)
                  = (k / 3) · S_graduate³ · (1 + f_buy)

quote_vault ≥ quote_to_graduate になると、Graduate 命令は以下を含む CPMM プールを作成します：

cpmm_base_reserve  = S_max − S_graduate        // unsold curve supply
cpmm_quote_reserve = quote_vault − accrued_fee_counters
cpmm_initial_price = cpmm_quote_reserve / cpmm_base_reserve

仮想リザーブ曲線の場合、構成上：

cpmm_initial_price == p(S_graduate)           // exact equality

二次の場合、この等式は成り立ち ません：積分した平均価格は限界価格より厳密に上に位置するため、CPMM は一定の係数だけ p(S_graduate) より上でオープンします（計算例を参照）。ハンドオフ時に価格が連続するのは、定積 / 仮想リザーブ曲線 — LaunchLab が実際に稼働させているもの — のみです。

CPMM プールと比較した無期限損失

純粋なボンディングカーブローンチは、Uniswap の意味で 無期限損失がありません：バランスを調整すべき「もう一方の側」がありません。曲線はオンデマンドでサプライを発行し、唯一の「LP」はコントラクト自体です。卒業後、結果の CPMM プールは他の CPMM プールのような動作をします — LP が焼却されなかった場合、それらは通常の無期限損失ダイナミクスの対象となります。これが、公開ローンチ後の焼却ポリシーが支配的である理由です：プールを永続的に保ち、LP 引き出し駆動の価格ショックを削除します。

実例

曲線：二次、k = 40、S_max = 1e9、S_graduate = 0.8 · S_max = 8e8。購入手数料 1%。

`s = 5e8` での価格

p(5e8) = 40 · (5e8 / 1e9)² = 40 · 0.25 = 10

ベース単位あたり 10 クォート単位。

最初の 1e6 ベースの購入のコスト

cost(0, 1e6) = (40 / (3 · (1e9)²)) · (1e6)³
             = (40 / 3e18) · 1e18
             ≈ 13.3          (smallest quote units)

1% 手数料付き：

quote_in = 13.3 · 1.01 ≈ 13.5

卒業閾値

cost(0, 8e8) = (40 / 3e18) · (8e8)³
             = (40 / 3e18) · 5.12e26
             ≈ 6.827e9      (≈ 6,827 units of a 6-decimal quote mint)
quote_to_graduate ≈ 6.827e9 · 1.01 ≈ 6.895e9

卒業時の価格

p(8e8) = 40 · 0.64 = 25.6

卒業後の CPMM リザーブ

cpmm_base  = 1e9 − 8e8 = 2e8
cpmm_quote ≈ 6.827e9   (less fee-counter deductions)
cpmm_price ≈ 6.827e9 / 2e8 = 34.14 per base

これは p(8e8) = 25.6 では ありません — ちょうどその 4/3 です。任意の二次価格曲線において積分平均は p(s)/3 · s / s であり、したがって cost(0,s)/s = p(s)/3 · ... は、残存供給が 1 − 0.8 のときに 4/3 · p(s) になります。したがって二次曲線のハンドオフは 価格連続ではありません。上記で述べた厳密な等式の特性を持つのは定積 / 仮想リザーブ曲線のみで、二次曲線のローンチでは卒業時に段差が生じます。

ポインター

/ja/products/launchlab/bonding-curve — これらの計算式の LaunchLab オンチェーン実装。
/ja/products/launchlab/instructions — Buy、Sell、Graduate のアカウントレベルの仕様。
/ja/algorithms/constant-product — 卒業後の CPMM がリザーブで行うこと。

ソース：

Raydium LaunchLab プログラムソース（二次 + 仮想リザーブ曲線実装）。
Bancor ホワイトペーパー（線形ボンディング曲線、歴史的）。
Pump.fun パブリックポストモーテム（仮想リザーブバリアント）。

プロダクト

アルゴリズム

ボンディングカーブ