Bonding Curves

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Was eine Bonding Curve ist

Eine Bonding Curve ist eine deterministische Preisfunktion p(s), die den Preis eines Tokens zur momentan im Umlauf befindlichen Menge (s für „Supply Sold”) in Beziehung setzt. Käufer erwerben durch Überweisung von Collateral zum Vertrag; der Vertrag gibt neue Token-Einheiten zum Grenzpreis der Kurve aus. Verkäufer geben Token-Einheiten zurück und erhalten die integrierte Rückerstattung. Zwei Schlüsseleigenschaften im Vergleich zu einem CPMM-Pool:

Keine Gegenpartei erforderlich. Der ausgebende Vertrag ist der Market Maker; Liquidität existiert per Dekret.
Monotoner Preis. Der Preis steigt bei jedem Netto-Kauf und sinkt bei jedem Netto-Verkauf.

Bonding Curves sind der Standard-Startmechanismus, wenn die ausgebende Entität einen AMM-Pool nicht mit Collateral vorfinanzieren möchte.

Generische Preisformeln

Für jede kontinuierliche Preisfunktion p(s): Spotpreis bei Supply s:

p(s) = die Kurvenformel

Kosten zum Kauf von Supply von s_0 zu s_1 (mit s_1 > s_0):

cost(s_0, s_1) = ∫_{s_0}^{s_1} p(s) ds = P(s_1) − P(s_0)

wobei P(s) = ∫ p(s) ds die Stammfunktion der Kurve ist. Geometrisch ist cost die Fläche unter p zwischen s_0 und s_1. Einnahmen aus dem Verkauf von Supply zurück von s_1 zu s_0:

proceeds(s_1, s_0) = cost(s_0, s_1)

(Symmetrie: Kauf und Verkauf über dasselbe Intervall tauschen dasselbe Collateral aus — modulo Gebühren.) Durchschnittspreis für den Kauf:

avg = cost(s_0, s_1) / (s_1 − s_0)

Häufige Kurvenfamilien

Linear

p(s) = a + b · s

P(s)            = a·s + (b/2)·s²
cost(s_0, s_1)  = a·(s_1 − s_0) + (b/2)·(s_1² − s_0²)

Der Preis steigt proportional zur Supply. Wird für „stabile” Launches verwendet, bei denen der Emittent einen vorhersehbaren, moderaten Aufschlag über die Lebensdauer hinweg wünscht.

Quadratisch

p(s) = k · s²                      // oder  k · (s / S_max)² für eine normalisierte Form

// Antiderivative of the normalized form p(s) = k · (s / S_max)²
P(s)            = (k / (3 · S_max²)) · s³
cost(s_0, s_1)  = (k / (3 · S_max²)) · (s_1³ − s_0³)

(Für die nicht normalisierte Form p(s) = k · s² entfällt das S_max²: P(s) = (k/3) · s³. Wählen Sie eine Konvention und bleiben Sie dabei — das ausgearbeitete Beispiel unten verwendet durchgehend die normalisierte Form.) Der Preis steigt quadratisch. Frühe Käufer erhalten einen nahezu Null-Preis (flache Startregion); späte Käufer zahlen einen steileren Aufschlag.

LaunchLab implementiert keine quadratische Preis-Kurve. Seine drei Kurventypen sind 0 = ConstantProduct (der Standard), 1 = FixedPrice und 2 = LinearPrice. Die diesem Abschnitt am nächsten kommende Form ist LinearPrice, deren Preis p(s) = a·s ist und deren Kosten damit quadratisch sind. Dieser Abschnitt bleibt als allgemeine Behandlung einer Polynomkurve erhalten.

Virtual-Reserves CPMM (Pump-Stil)

Die Kurve ist ein Standard-CPMM mit einer vorgetäuschten initialen Quote-Reserve V_q:

effective_y = V_q + collateral_received
effective_x = S_max − s
(effective_x) · (effective_y) = V_q · S_max      // Invariante

Spotpreis:

p(s) = effective_y / effective_x
     = V_q · S_max / (S_max − s)² · ... (ableitbar durch implizite Differentiation)

Kosten zur Bewegung von s_0 zu s_1:

cost(s_0, s_1) = V_q · S_max / (S_max − s_1) − V_q · S_max / (S_max − s_0)
              = V_q · (s_1 − s_0) · S_max / ((S_max − s_0) · (S_max − s_1))

Diese Variante hat die elegante Eigenschaft, dass bei der Graduierung (wo s = S_graduate) der Grenzpreis gleich dem Eröffnungspreis des nachgelagerten CPMM-Pools ist, der mit Reserves (S_max − S_graduate, V_q + cost(0, S_graduate)) gefüllt wird. Die Übergabe ist nahtlos. LaunchLab stellt dies als curve_type = 0 (ConstantProduct) bereit — der Standard und heute der einzige Typ mit aktiven Configs.

Diskrete Implementierung

On-Chain sind sowohl s als auch cost ganzzahlig (Einheiten der kleinsten Denomination). Das kontinuierliche Integral cost(s_0, s_1) wird direkt aus der geschlossenen Form berechnet, wenn eine existiert (linear, quadratisch). Für Kurven ohne geschlossene Inverse (quadratisch, gegeben cost, finde s_1), wird Newton-Iteration verwendet:

# Löse quadratisch: (k/3)·s_1³ = (k/3)·s_0³ + cost
# Initialisiere mit s_guess ≈ cbrt(3·cost/k + s_0³)
for i in 0..MAX_ITER:
    f    = (k/3)·s_guess³ − (k/3)·s_0³ − cost
    f'   = k·s_guess²
    step = f / f'
    s_guess -= step
    if |step| < precision_floor: break

Dies ist das allgemeine numerische Rezept, nicht die Implementierung von LaunchLab. LaunchLab hat keinen Newton-Solver und keinen NotConverged-Fehler — keine seiner drei Kurven benötigt einen. Die Constant-Product-Kurve lässt sich in geschlossener Form invertieren, die Fixed-Price-Kurve ist eine Division, und die quadratischen Kosten der Linear-Price-Kurve invertieren sich mit einer Quadratwurzel. Selbst der oben behandelte Fall einer quadratischen Preiskurve hat die exakte geschlossene Form s₁ = ∛(s₀³ + 3·cost/k), die das Snippet als Initialisierer verwendet.

Gebührenintegration

Gebühren werden auf den Kurvenwert aufgelegt, nicht in ihn integriert. Beim Kauf:

cost_curve  = cost(base_sold, base_sold + base_out)
fee         = ceil(cost_curve · buy_numerator / buy_denominator)
quote_in    = cost_curve + fee

Beim Verkauf:

proceeds_curve = cost(base_sold − base_in, base_sold)
fee            = ceil(proceeds_curve · sell_numerator / sell_denominator)
quote_out      = proceeds_curve − fee

Der LP-Anteil der Gebühr wird in quote_vault eingezogen und macht die Kurve für spätere Käufer effektiv steifer — die Reserve wächst, ohne mehr Supply auszugeben. Die Protokoll- und Creator-Anteile werden in separaten Zählern nachverfolgt zur späteren Erfassung.

Graduierungsschwellwert

Eine Kurve „graduiert”, wenn sie genug Collateral erhalten hat, um einen externen AMM-Pool mit einem Preis zu finanzieren, der dem aktuellen Kurvenprice entspricht. Für eine quadratische Kurve mit Parametern (k, S_max, S_graduate):

quote_to_graduate = cost(0, S_graduate) · (1 + buy_fee_rate)
                  = (k / 3) · S_graduate³ · (1 + f_buy)

Sobald quote_vault ≥ quote_to_graduate gilt, erstellt die Graduate-Anweisung einen CPMM-Pool mit:

cpmm_base_reserve  = S_max − S_graduate        // unverkaufte Kurven-Supply
cpmm_quote_reserve = quote_vault − accrued_fee_counters
cpmm_initial_price = cpmm_quote_reserve / cpmm_base_reserve

Für die Virtual-Reserves-Kurve ist per Konstruktion:

cpmm_initial_price == p(S_graduate)           // exakte Gleichheit

Für die quadratische Kurve gilt diese Gleichheit nicht: der integrierte Durchschnittspreis liegt strikt über dem Grenzpreis, sodass der CPMM um einen festen Faktor über p(S_graduate) eröffnet (siehe das ausgearbeitete Beispiel). Nur die Constant-Product-/Virtual-Reserves-Kurve — diejenige, die LaunchLab tatsächlich betreibt — ist bei der Übergabe preisstetig.

Unbestständigkeit vs ein CPMM-Pool

Ein reiner Bonding-Curve-Launch hat keine Unbestständigkeit im Uniswap-Sinne: es gibt keine „andere Seite” des Marktes zum Rebalancieren. Die Kurve gibt Supply nach Bedarf aus, und der einzige „LP” ist der Vertrag selbst. Nach der Graduierung verhält sich der resultierende CPMM-Pool wie jeder andere CPMM-Pool — falls der LP nicht gebrannt wurde, unterliegen sie den üblichen Impermanent-Loss-Dynamiken. Deshalb ist die Burn-Policy nach der Graduierung dominierend in öffentlichen Launches: sie halten den Pool permanent und entfernen etwaige LP-Auszahlungsgesteuerte Preisschocks.

Bearbeitetes Beispiel

Kurve: quadratisch, k = 40, S_max = 1e9, S_graduate = 0.8 · S_max = 8e8. Kaufgebühr 1%.

Preis bei `s = 5e8`

p(5e8) = 40 · (5e8 / 1e9)² = 40 · 0.25 = 10

10 Quote-Einheiten pro Base-Einheit.

Kosten des ersten Kaufs von 1e6 Base

cost(0, 1e6) = (40/3) · (1e6)³
             = (40/3) · 1e18
             ≈ 1.333e19     (kleinste Quote-Einheiten)

Mit 1% Gebühr:

quote_in = 13.3 · 1.01 ≈ 13.5

Graduierungsschwellwert

cost(0, 8e8) = (40 / 3e18) · (8e8)³
             = (40 / 3e18) · 5.12e26
             ≈ 6.827e9      (≈ 6,827 units of a 6-decimal quote mint)
quote_to_graduate ≈ 6.827e9 · 1.01 ≈ 6.895e9

Preis bei Graduierung

p(8e8) = 40 · 0.64 = 25.6

Post-Graduierungs-CPMM-Reserves

cpmm_base  = 1e9 − 8e8 = 2e8
cpmm_quote ≈ 6.827e9   (minus Gebührenzähler-Abzüge)
cpmm_price ≈ 6.827e9 / 2e8 = 34.14 pro Base

Das ist nicht p(8e8) = 25.6 — es ist genau 4/3 davon. Für jede quadratische Preiskurve ist der integrierte Durchschnitt p(s)/3 · s / s, sodass cost(0,s)/s = p(s)/3 · ... auf 4/3 · p(s) hinausläuft, sobald die verbleibende Supply 1 − 0.8 ist. Die quadratische Übergabe ist daher nicht preisstetig. Nur die Constant-Product-/Virtual-Reserves-Kurve besitzt die oben beschriebene Eigenschaft der exakten Gleichheit; ein quadratischer Launch zeigt bei der Graduierung eine Stufe.

Verweise

products/launchlab/bonding-curve — die On-Chain-Implementierung dieser Formeln von LaunchLab.
products/launchlab/instructions — Buy, Sell, Graduate Spezifikationen auf Kontoebene.
algorithms/constant-product — was der Post-Graduierungs-CPMM mit den Reserves macht.

Quellen:

Raydium LaunchLab-Programmquelle (quadratische + Virtual-Reserves-Kurven-Implementierungen).
Bancor White Paper (lineare Bonding Curves, historisch).
Pump.fun öffentliche Post-Mortems (Virtual-Reserves-Variante).

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Was eine Bonding Curve ist

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Häufige Kurvenfamilien

Linear

Quadratisch

Virtual-Reserves CPMM (Pump-Stil)

Diskrete Implementierung

Gebührenintegration

Graduierungsschwellwert

Unbestständigkeit vs ein CPMM-Pool

Bearbeitetes Beispiel

Preis bei `s = 5e8`

Kosten des ersten Kaufs von 1e6 Base

Graduierungsschwellwert

Preis bei Graduierung

Post-Graduierungs-CPMM-Reserves

Verweise

​Was eine Bonding Curve ist

​Generische Preisformeln

​Häufige Kurvenfamilien

​Linear

​Quadratisch

​Virtual-Reserves CPMM (Pump-Stil)

​Diskrete Implementierung

​Gebührenintegration

​Graduierungsschwellwert

​Unbestständigkeit vs ein CPMM-Pool

​Bearbeitetes Beispiel

​Preis bei s = 5e8

​Kosten des ersten Kaufs von 1e6 Base

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​Preis bei Graduierung

​Post-Graduierungs-CPMM-Reserves

​Verweise

Was eine Bonding Curve ist

Generische Preisformeln

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Linear

Quadratisch

Virtual-Reserves CPMM (Pump-Stil)

Diskrete Implementierung

Gebührenintegration

Graduierungsschwellwert

Unbestständigkeit vs ein CPMM-Pool

Bearbeitetes Beispiel

Preis bei `s = 5e8`

Kosten des ersten Kaufs von 1e6 Base

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Post-Graduierungs-CPMM-Reserves

Verweise