Curvas de bonificação

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O que é uma curva de bonificação

Uma curva de bonificação é uma função de preço determinística p(s) que relaciona o preço de um token à quantidade atualmente em circulação (s de “supply sold”). Compradores adquirem enviando colateral para o contrato; o contrato emite novas unidades de token ao preço marginal ditado pela curva. Vendedores devolvem unidades de token e recebem o reembolso integrado. Duas propriedades-chave em comparação com um pool CPMM:

Sem contraparte necessária. O contrato emissor é o criador de mercado; liquidez existe por direito.
Preço monotônico. O preço sobe a cada compra líquida e cai a cada venda líquida.

Curvas de bonificação são o mecanismo de lançamento padrão quando a entidade emissora não quer pré-semear um pool AMM com colateral.

Fórmulas de preço genéricas

Para qualquer função de preço contínua p(s): Preço spot na oferta s:

p(s) = the curve formula

Custo para comprar oferta de s_0 para s_1 (com s_1 > s_0):

cost(s_0, s_1) = ∫_{s_0}^{s_1} p(s) ds = P(s_1) − P(s_0)

onde P(s) = ∫ p(s) ds é a antiderivada da curva. Geometricamente, cost é a área sob p entre s_0 e s_1. Receita de venda da oferta de volta de s_1 para s_0:

proceeds(s_1, s_0) = cost(s_0, s_1)

(Simetria: comprar e vender no mesmo intervalo troca o mesmo colateral — módulo taxas.) Preço médio para a compra:

avg = cost(s_0, s_1) / (s_1 − s_0)

Famílias de curvas comuns

Linear

p(s) = a + b · s

P(s)            = a·s + (b/2)·s²
cost(s_0, s_1)  = a·(s_1 − s_0) + (b/2)·(s_1² − s_0²)

O preço sobe proporcionalmente com a oferta. Usado para lançamentos “estáveis” onde o emissor quer um markup previsível e moderado ao longo do tempo de vida.

Quadrática

p(s) = k · s²                      // ou  k · (s / S_max)² para uma forma normalizada

// Antiderivative of the normalized form p(s) = k · (s / S_max)²
P(s)            = (k / (3 · S_max²)) · s³
cost(s_0, s_1)  = (k / (3 · S_max²)) · (s_1³ − s_0³)

(Para a forma não normalizada p(s) = k · s², elimine o S_max²: P(s) = (k/3) · s³. Escolha uma convenção e mantenha-se nela — o exemplo trabalhado abaixo usa a forma normalizada do início ao fim.) O preço sobe quadraticamente. Compradores iniciais recebem um preço próximo a zero (região inicial plana); compradores tardios pagam um prêmio mais acentuado.

LaunchLab não implementa uma curva de preço quadrática. Seus três tipos de curva são 0 = ConstantProduct (o padrão), 1 = FixedPrice e 2 = LinearPrice. A forma mais próxima desta seção é LinearPrice, cujo preço é p(s) = a·s e cujo custo é, portanto, quadrático. Esta seção é mantida como o tratamento geral de uma curva polinomial.

CPMM com reservas virtuais (estilo Pump)

A curva é um CPMM padrão com uma pretensa reserva de cotação inicial V_q:

effective_y = V_q + collateral_received
effective_x = S_max − s
(effective_x) · (effective_y) = V_q · S_max      // invariant

Preço spot:

p(s) = effective_y / effective_x
     = V_q · S_max / (S_max − s)² · ... (derivável via diferenciação implícita)

Custo para se mover de s_0 para s_1:

cost(s_0, s_1) = V_q · S_max / (S_max − s_1) − V_q · S_max / (S_max − s_0)
              = V_q · (s_1 − s_0) · S_max / ((S_max − s_0) · (S_max − s_1))

Esta variante tem a propriedade elegante de que na graduação (onde s = S_graduate), o preço marginal é igual ao preço de abertura do pool CPMM a jusante semeado com reservas (S_max − S_graduate, V_q + cost(0, S_graduate)). A transição é perfeita. LaunchLab expõe isto como curve_type = 0 (ConstantProduct) — o padrão, e o único tipo com configurações ativas hoje.

Implementação discreta

On-chain, s e cost são ambos inteiros (unidades da menor denominação). O integral contínuo cost(s_0, s_1) é calculado diretamente a partir da forma fechada sempre que existe (linear, quadrática). Para curvas sem inversa de forma fechada (quadrática, dado cost, encontre s_1), iteração de Newton é usada:

# Resolver quadrática: (k/3)·s_1³ = (k/3)·s_0³ + cost
# Inicializar com s_guess ≈ cbrt(3·cost/k + s_0³)
for i in 0..MAX_ITER:
    f    = (k/3)·s_guess³ − (k/3)·s_0³ − cost
    f'   = k·s_guess²
    step = f / f'
    s_guess -= step
    if |step| < precision_floor: break

Esta é a receita numérica geral, não a implementação do LaunchLab. O LaunchLab não tem solver de Newton nem erro NotConverged — nenhuma de suas três curvas precisa de um. A curva de produto constante inverte em forma fechada, a curva de preço fixo é uma divisão, e o custo quadrático da curva de preço linear inverte com uma raiz quadrada. Mesmo o caso de preço quadrático acima tem a forma fechada exata s₁ = ∛(s₀³ + 3·cost/k), que é o que o trecho usa como seu inicializador.

Integração de taxas

As taxas são aplicadas no topo do custo da curva, não dentro dela. Na compra:

cost_curve  = cost(base_sold, base_sold + base_out)
fee         = ceil(cost_curve · buy_numerator / buy_denominator)
quote_in    = cost_curve + fee

Na venda:

proceeds_curve = cost(base_sold − base_in, base_sold)
fee            = ceil(proceeds_curve · sell_numerator / sell_denominator)
quote_out      = proceeds_curve − fee

A porção LP da taxa é retida em quote_vault e efetivamente torna a curva mais rígida para compradores posteriores — a reserva cresce sem emitir mais oferta. As porções do protocolo e do criador são rastreadas em contadores separados para varredura posterior.

Limite de graduação

Uma curva “gradua” quando recebeu colateral suficiente para semear um pool AMM externo a um preço que corresponde ao preço atual da curva. Para uma curva quadrática com parâmetros (k, S_max, S_graduate):

quote_to_graduate = cost(0, S_graduate) · (1 + buy_fee_rate)
                  = (k / 3) · S_graduate³ · (1 + f_buy)

Uma vez que quote_vault ≥ quote_to_graduate, a instrução Graduate cria um pool CPMM com:

cpmm_base_reserve  = S_max − S_graduate        // unsold curve supply
cpmm_quote_reserve = quote_vault − accrued_fee_counters
cpmm_initial_price = cpmm_quote_reserve / cpmm_base_reserve

Para a curva de reservas virtuais, por construção:

cpmm_initial_price == p(S_graduate)           // igualdade exata

Para a quadrática, esta igualdade não se verifica: o preço médio integrado fica estritamente acima do preço marginal, portanto o CPMM abre acima de p(S_graduate) por um fator fixo (veja o exemplo trabalhado). Apenas a curva de produto constante / reservas virtuais — a que o LaunchLab realmente executa — é contínua em preço na transição.

Impermanência versus um pool CPMM

Um lançamento de curva de bonificação pura tem nenhuma impermanência no sentido Uniswap: não há “outro lado” do mercado para rebalancear. A curva emite oferta sob demanda, e o único “LP” é o próprio contrato. Após graduação, o pool CPMM resultante se comporta como qualquer outro pool CPMM — se o LP não foi queimado, está sujeito à dinâmica usual de perda impermanente. É por isso que a política de queimar pós-graduação é dominante em lançamentos públicos: mantém o pool permanente e remove qualquer choque de preço causado por retirada de LP.

Exemplo trabalhado

Curva: quadrática, k = 40, S_max = 1e9, S_graduate = 0.8 · S_max = 8e8. Taxa de compra 1%.

Preço em `s = 5e8`

p(5e8) = 40 · (5e8 / 1e9)² = 40 · 0.25 = 10

10 unidades de cotação por unidade de base.

Custo da primeira compra de 1e6 base

cost(0, 1e6) = (40/3) · (1e6)³
             = (40/3) · 1e18
             ≈ 1.333e19     (unidades menores de cotação)

Com taxa de 1%:

quote_in = 13.3 · 1.01 ≈ 13.5

Limite de graduação

cost(0, 8e8) = (40 / 3e18) · (8e8)³
             = (40 / 3e18) · 5.12e26
             ≈ 6.827e9      (≈ 6,827 units of a 6-decimal quote mint)
quote_to_graduate ≈ 6.827e9 · 1.01 ≈ 6.895e9

Preço na graduação

p(8e8) = 40 · 0.64 = 25.6

Reservas CPMM pós-graduação

cpmm_base  = 1e9 − 8e8 = 2e8
cpmm_quote ≈ 6.827e9   (menos deduções de contador de taxas)
cpmm_price ≈ 6.827e9 / 2e8 = 34.14 por base

Isso não é p(8e8) = 25.6 — é exatamente 4/3 disso. Para qualquer curva de preço quadrática, a média integrada é p(s)/3 · s / s, portanto cost(0,s)/s = p(s)/3 · ... resulta em 4/3 · p(s) uma vez que a oferta restante é 1 − 0.8. A transição quadrática, portanto, não é contínua em preço. Apenas a curva de produto constante / reservas virtuais tem a propriedade de igualdade exata descrita acima; um lançamento quadrático mostra um degrau na graduação.

Referências

/pt/products/launchlab/bonding-curve — a implementação LaunchLab on-chain destas fórmulas.
/pt/products/launchlab/instructions — especificações de nível de conta para Buy, Sell, Graduate.
/pt/algorithms/constant-product — o que o CPMM pós-graduação faz com as reservas.

Fontes:

Código-fonte do programa Raydium LaunchLab (implementações de curva quadrática + reservas virtuais).
Banco Branco (curvas de bonificação lineares, históricas).
Posts post-mortem públicos do Pump.fun (variante de reservas virtuais).

Products

Algorithms

Curvas de bonificação

O que é uma curva de bonificação

Fórmulas de preço genéricas

Famílias de curvas comuns

Linear

Quadrática

CPMM com reservas virtuais (estilo Pump)

Implementação discreta

Integração de taxas

Limite de graduação

Impermanência versus um pool CPMM

Exemplo trabalhado

Preço em `s = 5e8`

Custo da primeira compra de 1e6 base

Limite de graduação

Preço na graduação

Reservas CPMM pós-graduação

Referências

​O que é uma curva de bonificação

​Fórmulas de preço genéricas

​Famílias de curvas comuns

​Linear

​Quadrática

​CPMM com reservas virtuais (estilo Pump)

​Implementação discreta

​Integração de taxas

​Limite de graduação

​Impermanência versus um pool CPMM

​Exemplo trabalhado

​Preço em s = 5e8

​Custo da primeira compra de 1e6 base

​Limite de graduação

​Preço na graduação

​Reservas CPMM pós-graduação

​Referências

O que é uma curva de bonificação

Fórmulas de preço genéricas

Famílias de curvas comuns

Linear

Quadrática

CPMM com reservas virtuais (estilo Pump)

Implementação discreta

Integração de taxas

Limite de graduação

Impermanência versus um pool CPMM

Exemplo trabalhado

Preço em `s = 5e8`

Custo da primeira compra de 1e6 base

Limite de graduação

Preço na graduação

Reservas CPMM pós-graduação

Referências