Curvas de vinculación

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Qué es una curva de vinculación

Una curva de vinculación es una función de precio determinista p(s) que relaciona el precio de un token con la cantidad actualmente en circulación (s por “oferta vendida”). Los compradores adquieren enviando garantía al contrato; el contrato emite nuevas unidades de token al precio marginal dictado por la curva. Los vendedores devuelven unidades de token y reciben el reembolso integrado. Dos propiedades clave en comparación con un pool CPMM:

Sin contraparte necesaria. El contrato emisor es el creador de mercado; la liquidez existe por decreto.
Precio monótono. El precio sube con cada compra neta y baja con cada venta neta.

Las curvas de vinculación son el mecanismo de lanzamiento estándar cuando la entidad emisora no desea pre-financiar un pool AMM con garantía.

Fórmulas de precios genéricas

Para cualquier función de precio continua p(s): Precio spot en la oferta s:

p(s) = the curve formula

Costo para comprar oferta de s_0 a s_1 (con s_1 > s_0):

cost(s_0, s_1) = ∫_{s_0}^{s_1} p(s) ds = P(s_1) − P(s_0)

donde P(s) = ∫ p(s) ds es la antiderivada de la curva. Geométricamente, cost es el área bajo p entre s_0 y s_1. Ingresos por venta de oferta de vuelta de s_1 a s_0:

proceeds(s_1, s_0) = cost(s_0, s_1)

(Simetría: comprar y vender en el mismo intervalo intercambian la misma garantía — módulo comisiones.) Precio promedio para la compra:

avg = cost(s_0, s_1) / (s_1 − s_0)

Familias de curvas comunes

Lineal

p(s) = a + b · s

P(s)            = a·s + (b/2)·s²
cost(s_0, s_1)  = a·(s_1 − s_0) + (b/2)·(s_1² − s_0²)

El precio sube proporcionalmente con la oferta. Se usa para lanzamientos “estables” donde el emisor quiere un margen predecible y moderado a lo largo de la vida útil.

Cuadrática

p(s) = k · s²                      // or  k · (s / S_max)² for a normalized form

// Antiderivative of the normalized form p(s) = k · (s / S_max)²
P(s)            = (k / (3 · S_max²)) · s³
cost(s_0, s_1)  = (k / (3 · S_max²)) · (s_1³ − s_0³)

(Para la forma no normalizada p(s) = k · s², elimina el S_max²: P(s) = (k/3) · s³. Elige una convención y mantente en ella — el ejemplo trabajado más abajo usa la forma normalizada en todo momento.) El precio sube cuadráticamente. Los compradores tempranos obtienen un precio casi cero (región inicial plana); los compradores tardíos pagan una prima más pronunciada.

LaunchLab no implementa una curva de precio cuadrática. Sus tres tipos de curva son 0 = ConstantProduct (el predeterminado), 1 = FixedPrice y 2 = LinearPrice. La forma más parecida a esta sección es LinearPrice, cuyo precio es p(s) = a·s y cuyo costo es, por tanto, cuadrático. Esta sección se conserva como el tratamiento general de una curva polinómica.

CPMM de reservas virtuales (estilo Pump)

La curva es un CPMM estándar con una reserva de cotización inicial ficticia V_q:

effective_y = V_q + collateral_received
effective_x = S_max − s
(effective_x) · (effective_y) = V_q · S_max      // invariant

Precio spot:

p(s) = effective_y / effective_x
     = V_q · S_max / (S_max − s)² · ... (derivable via implicit differentiation)

Costo para pasar de s_0 a s_1:

cost(s_0, s_1) = V_q · S_max / (S_max − s_1) − V_q · S_max / (S_max − s_0)
              = V_q · (s_1 − s_0) · S_max / ((S_max − s_0) · (S_max − s_1))

Esta variante tiene la propiedad elegante de que en la graduación (donde s = S_graduate), el precio marginal equivale al precio de apertura del pool CPMM descendente semillado con reservas (S_max − S_graduate, V_q + cost(0, S_graduate)). La transición es sin interrupciones. LaunchLab expone esto como curve_type = 0 (ConstantProduct) — el predeterminado, y el único tipo con configuraciones activas hoy.

Implementación discreta

En cadena, tanto s como cost son enteros (unidades de denominación más pequeña). La integral continua cost(s_0, s_1) se calcula directamente a partir de la forma cerrada siempre que exista una (lineal, cuadrática). Para curvas sin inversa de forma cerrada (cuadrática, dado cost, encuentra s_1), se usa iteración de Newton:

# Solve quadratic: (k/3)·s_1³ = (k/3)·s_0³ + cost
# Initialize with s_guess ≈ cbrt(3·cost/k + s_0³)
for i in 0..MAX_ITER:
    f    = (k/3)·s_guess³ − (k/3)·s_0³ − cost
    f'   = k·s_guess²
    step = f / f'
    s_guess -= step
    if |step| < precision_floor: break

Esta es la receta numérica general, no la implementación de LaunchLab. LaunchLab no tiene solucionador de Newton ni error NotConverged — ninguna de sus tres curvas necesita uno. La curva de producto constante se invierte en forma cerrada, la curva de precio fijo es una división, y el costo cuadrático de la curva de precio lineal se invierte con una raíz cuadrada. Incluso el caso de precio cuadrático anterior tiene la forma cerrada exacta s₁ = ∛(s₀³ + 3·cost/k), que es lo que el fragmento usa como inicializador.

Integración de comisiones

Las comisiones se aplican encima del costo de la curva, no dentro de ella. En compra:

cost_curve  = cost(base_sold, base_sold + base_out)
fee         = ceil(cost_curve · buy_numerator / buy_denominator)
quote_in    = cost_curve + fee

En venta:

proceeds_curve = cost(base_sold − base_in, base_sold)
fee            = ceil(proceeds_curve · sell_numerator / sell_denominator)
quote_out      = proceeds_curve − fee

La porción de LP de la comisión se retiene en quote_vault e efectivamente hace la curva más rígida para compradores posteriores — la reserva crece sin emitir más oferta. Las porciones de protocolo y creador se rastrean en contadores separados para barrido posterior.

Umbral de graduación

Una curva “se gradúa” cuando ha recibido suficiente garantía para semillar un pool AMM externo a un precio que coincida con el precio actual de la curva. Para una curva cuadrática con parámetros (k, S_max, S_graduate):

quote_to_graduate = cost(0, S_graduate) · (1 + buy_fee_rate)
                  = (k / 3) · S_graduate³ · (1 + f_buy)

Una vez que quote_vault ≥ quote_to_graduate, la instrucción Graduate crea un pool CPMM con:

cpmm_base_reserve  = S_max − S_graduate        // unsold curve supply
cpmm_quote_reserve = quote_vault − accrued_fee_counters
cpmm_initial_price = cpmm_quote_reserve / cpmm_base_reserve

Para la curva de reservas virtuales, por construcción:

cpmm_initial_price == p(S_graduate)           // exact equality

Para la cuadrática esta igualdad no se cumple: el precio medio integrado se sitúa estrictamente por encima del precio marginal, así que el CPMM abre por encima de p(S_graduate) en un factor fijo (ver el ejemplo trabajado). Solo la curva de producto constante / reservas virtuales — la que LaunchLab ejecuta realmente — es continua en precio en la transición.

Impermanencia vs un pool CPMM

Un lanzamiento de curva de vinculación pura tiene sin impermanencia en el sentido de Uniswap: no hay “otro lado” del mercado contra el cual reequilibrar. La curva emite oferta bajo demanda, y el único “LP” es el contrato mismo. Post-graduación, el pool CPMM resultante se comporta como cualquier otro pool CPMM — si el LP no fue quemado, está sujeto a la dinámica usual de pérdida impermanente. Esta es la razón por la cual la política de quema post-graduación es dominante en lanzamientos públicos: mantiene el pool permanente y elimina cualquier shock de precio impulsado por retiros de LP.

Ejemplo trabajado

Curva: cuadrática, k = 40, S_max = 1e9, S_graduate = 0.8 · S_max = 8e8. Comisión de compra 1%.

Precio en `s = 5e8`

p(5e8) = 40 · (5e8 / 1e9)² = 40 · 0.25 = 10

10 unidades de cotización por unidad base.

Costo de la primera compra de 1e6 base

cost(0, 1e6) = (40 / (3 · (1e9)²)) · (1e6)³
             = (40 / 3e18) · 1e18
             ≈ 13.3          (smallest quote units)

Con comisión del 1%:

quote_in = 13.3 · 1.01 ≈ 13.5

Umbral de graduación

cost(0, 8e8) = (40 / 3e18) · (8e8)³
             = (40 / 3e18) · 5.12e26
             ≈ 6.827e9      (≈ 6,827 units of a 6-decimal quote mint)
quote_to_graduate ≈ 6.827e9 · 1.01 ≈ 6.895e9

Precio en graduación

p(8e8) = 40 · 0.64 = 25.6

Reservas CPMM post-graduación

cpmm_base  = 1e9 − 8e8 = 2e8
cpmm_quote ≈ 6.827e9   (less fee-counter deductions)
cpmm_price ≈ 6.827e9 / 2e8 = 34.14 per base

Eso no es p(8e8) = 25.6 — es exactamente 4/3 de ese valor. Para cualquier curva de precio cuadrática el promedio integrado es p(s)/3 · s / s, de modo que cost(0,s)/s = p(s)/3 · ... resulta en 4/3 · p(s) una vez que el suministro restante es 1 − 0.8. Por tanto, la transición cuadrática no es continua en precio. Solo la curva de producto constante / reservas virtuales tiene la propiedad de igualdad exacta descrita arriba; un lanzamiento cuadrático muestra un escalón en la graduación.

Referencias

products/launchlab/bonding-curve — la implementación en cadena de LaunchLab de estas fórmulas.
products/launchlab/instructions — especificaciones a nivel de cuenta para Buy, Sell, Graduate.
algorithms/constant-product — qué hace el CPMM post-graduación con las reservas.

Fuentes:

Código fuente del programa LaunchLab de Raydium (implementaciones de curva cuadrática + reservas virtuales).
White paper de Bancor (curvas de vinculación lineales, histórico).
Publicaciones post-mortem públicas de Pump.fun (variante de reservas virtuales).

Productos

Algoritmos

Qué es una curva de vinculación

Fórmulas de precios genéricas

Familias de curvas comunes

Lineal

Cuadrática

CPMM de reservas virtuales (estilo Pump)

Implementación discreta

Integración de comisiones

Umbral de graduación

Impermanencia vs un pool CPMM

Ejemplo trabajado

Precio en `s = 5e8`

Costo de la primera compra de 1e6 base

Umbral de graduación

Precio en graduación

Reservas CPMM post-graduación

Referencias

​Qué es una curva de vinculación

​Fórmulas de precios genéricas

​Familias de curvas comunes

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​Cuadrática

​CPMM de reservas virtuales (estilo Pump)

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​Integración de comisiones

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​Impermanencia vs un pool CPMM

​Ejemplo trabajado

​Precio en s = 5e8

​Costo de la primera compra de 1e6 base

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​Precio en graduación

​Reservas CPMM post-graduación

​Referencias

Qué es una curva de vinculación

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Familias de curvas comunes

Lineal

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CPMM de reservas virtuales (estilo Pump)

Implementación discreta

Integración de comisiones

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Impermanencia vs un pool CPMM

Ejemplo trabajado

Precio en `s = 5e8`

Costo de la primera compra de 1e6 base

Umbral de graduación

Precio en graduación

Reservas CPMM post-graduación

Referencias